في درس جمع الكسور المتشابهة ذكرنا أننا نجمع البسطين ونترك المقام كما هو عندما يكون للكسرين نفس المقام، فماذا يحدث إذا اختلف المقامان؟ في هذا الدرس سوف نتناول:
- لماذا لا نستطيع جمع كسرين مقاماهما مختلفان مباشرة.
- الحل البسيط الذي يجربه أغلب الطلاب، ولماذا يعطي نتيجة خاطئة.
- كيف نحول الكسرين إلى قطع لها نفس الحجم باستخدام المضاعف المشترك الأصغر LCM ثم نجمعهما.
المشكلة
لنفرض أن عندك نصف بيتزا وصديقك عنده ثلث بيتزا من نفس الحجم، وتريدان أن تعرفا كم بيتزا معكما معاً. وهذا السؤال تقابله في أماكن كثيرة، في الوصفات وفي القياس وفي تقسيم الوقت، وسوف تقابله لاحقاً في كل معادلة جبرية فيها كسور، لذلك من المهم أن نفهمه جيداً من الآن.
الحل البسيط، ولماذا لا يعمل
الحل الذي يخطر على بال أغلب الطلاب هو أن نجمع البسطين معاً والمقامين معاً، فيكون الناتج كما يلي:
ولكن لاحظ أن خمسين أقل من النصف، أي أن الناتج أصغر من القطعة التي كانت معك وحدك قبل أن يضيف صديقك قطعته، وهذا مستحيل. والسبب أن المقام Denominator يخبرنا بحجم القطعة وليس بعدد القطع، فالنصف قطعة كبيرة والثلث قطعة أصغر، وبالتالي لا نستطيع أن نجمع قطعاً بأحجام مختلفة كأنها قطع متساوية.
الحل الصحيح: قطع لها نفس الحجم
الحل أن نعيد تقطيع البيتزا كلها إلى قطع صغيرة متساوية، بحيث يكون النصف عدداً كاملاً من هذه القطع والثلث كذلك. جرب بنفسك في الرسم التالي، فاختر عدد القطع وراقب متى تنطبق خطوط القطع على حافة الجزء الملون في الشريطين معاً.
لاحظ أن بعض الخطوط لا تنطبق على حافة الجزء الملون، وهذا يعني أننا لا نستطيع عد القطع في الشريطين بنفس الحجم، فجرب عدداً آخر.لاحظ أن بعض الخطوط لا تنطبق على حافة الجزء الملون، وهذا يعني أننا لا نستطيع عد القطع في الشريطين بنفس الحجم، فجرب عدداً آخر.
وكما رأيت في الرسم فإن الخطوط تنطبق عندما يكون عدد القطع مضاعفاً للعددين 2 و3 معاً، وأصغر عدد يحقق ذلك هو 6، ولهذا نسميه المضاعف المشترك الأصغر Least Common Multiple للمقامين. وبالتالي فالقاعدة هي أن نحول الكسرين إلى المقام المشترك الأصغر، ثم نجمع البسطين فقط ويبقى المقام كما هو، لأن حجم القطعة لم يتغير:
وقد يتساءل البعض: لماذا لا نضرب المقامين ببعضهما دائماً بدلاً من البحث عن المضاعف المشترك الأصغر؟ والإجابة على ذلك أن ضرب المقامين يعطي مقاماً مشتركاً صحيحاً دائماً، ولكنه في بعض الأحيان أكبر من اللازم، فإذا جمعنا بضرب المقامين فسوف نعمل بأجزاء من 24 ثم نحتاج إلى التبسيط في النهاية، بينما يكفي المقام 12.
مثال محلول
المثال التالي يبين الخطوات كاملة، وكل خطوة معها سببها، فاضغط على الزر لتظهر الخطوة التالية:
- 1١لماذا؟ نبحث عن أصغر عدد قطع يمكن أن ينقسم إليه الكسران معاً، وهو المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.
في الحل أعلاه لاحظ التالي:
- لم نغير قيمة أي كسر، وإنما غيرنا طريقة كتابته فقط، لأننا ضربنا البسط والمقام في العدد نفسه.
- الكسر 11 من 12 في أبسط صورة، لأن 11 عدد أولي لا يقسم 12، وبالتالي لا نحتاج إلى خطوة تبسيط.
التدريب
حل الأسئلة التالية، وسوف تتغير الأرقام في كل سؤال. وإذا أخطأت فلا مشكلة، فسوف نبين لك سبب الخطأ والحل الكامل، ثم نعطيك سؤالاً جديداً.
التدريب
نحضر سؤالاً جديداً
الخلاصة
- لا نجمع المقامات، لأن المقام يحدد حجم القطعة ولا يعد القطع.
- نحول الكسرين إلى المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، ثم نجمع البسطين فقط.
- إذا ضربنا المقام في عدد فيجب أن نضرب البسط في العدد نفسه حتى لا تتغير قيمة الكسر.
- بعد الجمع نبسط الناتج إذا كان للبسط والمقام قاسم مشترك.