مفهوم الكسر

في درس الضرب والقسمة رأينا كيف نقسم عدداً من الأشياء على مجموعات متساوية، ولكن ماذا نفعل إذا كان الشيء واحداً، مثل كعكة أو شريط، وأردنا أن نأخذ جزءاً منه فقط؟ هنا نحتاج إلى الكسر Fraction، وفي هذا الدرس سوف نتناول:

ما الذي يعنيه الكسر، وماذا يمثل البسط والمقام.
الخطأ الذي يقع فيه أغلب الطلاب عندما يقرؤون كسراً من شكل.
لماذا يجب أن تكون الأجزاء متساوية حتى نستطيع أن نكتب الكسر.

المشكلة

لنفرض أنك قسمت شريطاً من الحلوى إلى 4 قطع متساوية وأكلت 3 منها، وتريد أن تكتب بالأرقام كم أكلت من الشريط. والشكل التالي يبين الشريط، والقطع الملونة هي التي أكلتها:

الحل البسيط، ولماذا لا يعمل

الحل الذي يخطر على بال بعض الطلاب هو أن نقارن القطع الملونة بالقطع غير الملونة، فنقول 3 إلى 1 ونكتب $\frac{3}{1}$ ، ولكن لاحظ أن $\frac{3}{1}$ يساوي 3، أي ثلاثة أشرطة كاملة، وأنت لم تأكل حتى شريطاً واحداً كاملاً. والسبب أن الكسر لا يقارن الجزء بما تبقى منه، وإنما يقارن الجزء بالشيء كله.

الحل الصحيح: الجزء من الكل

الكسر يتكون من عددين: العدد السفلي هو المقام Denominator، وهو عدد كل القطع المتساوية التي قسمنا إليها الشيء، والعدد العلوي هو البسط Numerator، وهو عدد القطع التي أخذناها. وبالتالي فالشريط في المثال قسمناه إلى 4 قطع وأخذنا منها 3، فنكتب:

\frac{3}{4}

ونقرؤها «ثلاثة أرباع». ولاحظ أن المقام يخبرنا بحجم القطعة الواحدة، فكلما زاد المقام صغرت القطعة، لأننا قسمنا الشيء نفسه إلى عدد أكبر من القطع.

وقد يتساءل البعض: هل يمكن أن نكتب الكسر إذا كانت القطع بأحجام مختلفة؟ والإجابة على ذلك لا، لأن الكسر $\frac{1}{4}$ يعني قطعة واحدة من 4 قطع متساوية، فإذا قسمنا الشريط إلى 4 قطع إحداها كبيرة والباقي صغير فإن «قطعة من 4» لا تعني شيئاً محدداً. لذلك أول ما نتحقق منه قبل كتابة أي كسر هو أن الأجزاء متساوية.

مثال محلول

المثال التالي يبين الخطوات كاملة لشريط مقسم إلى 8 أجزاء، منها 5 ملونة ولكنها ليست متجاورة:

\frac{\square}{\square}

1١
$8$ لماذا؟ نعد كل الأجزاء المتساوية في الشريط، وهذا هو المقام لأنه يحدد حجم الجزء الواحد.

في الحل أعلاه لاحظ التالي:

مكان الأجزاء الملونة لا يغير الكسر، فالمهم هو عددها وليس ترتيبها.
لو قارنا الملون بغير الملون لحصلنا على $\frac{5}{3}$ ، وهو أكبر من شريط كامل، وهذا يكشف الخطأ مباشرة.

التدريب

حل الأسئلة التالية، وسوف يتغير الشريط في كل سؤال. وفي الأسئلة الصعبة تكون الأجزاء الملونة متفرقة، فاحرص على العد وليس على الشكل.

التدريب

نحضر سؤالاً جديداً

الخلاصة

الكسر يقارن الجزء بالشيء كله، وليس بما تبقى منه.
المقام هو عدد كل القطع المتساوية، والبسط هو عدد القطع التي أخذناها.
لا نكتب الكسر إلا إذا كانت الأجزاء متساوية.
كلما زاد المقام صغرت القطعة الواحدة.